Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Wir sind ja in dem Kapitel über lineare Gleichungssysteme und weil wir jetzt

wissen, wie man Matrizen mit Vektoren multipliziert, können wir die ganz kompakt

hinschreiben. Lineare Gleichungssysteme kennen Sie ja schon lange. Da haben Sie

M-Gleichungen, eine endliche Anzahl von Gleichungen, die untereinander stehen und

in den Gleichungen werden die Variablen x1 bis xn mit Koeffizienten multipliziert und

das soll gleich sein das Ergebnis einer vorgegebenen rechten Seite b und das

können wir jetzt in der Form a mal x gleich b schreiben. Die rechten Seiten fassen wir in

einem Vektor b im R hoch m zusammen. x ist ein Vektor, der unsere Variablen, unsere

Unbekannten x1 bis xn enthält und in dieser Matrix a stehen die Koeffizienten. Die Koeffizienten

aus der ersten Gleichung stehen in der ersten Zeile. Wir fangen an links mit dem Koeffizienten

bei x1, dann kommt als zweites der Koeffizient bei x2 und so weiter und in der letzten Spalte

stehen die Koeffizienten bei xn. Also das ist das lineare Gleichungssystem kompakt geschrieben und

die Matrix hat dabei m Zeilen und n Spalten, ist also eine m Kreuz n Matrix. Unser Vektor x ist

dann im R hoch n und der Vektor b der rechten Seite ist im R hoch m. Dieses lineare Gleichungssystem

können wir jetzt, weil wir ja die Begriffe der linearen Algebra kennen, zuordnen einer

linearen Abbildung. Die lineare Abbildung nennen wir Phi, die gehört zu der Matrix a und bildet

einen Vektor x im R hoch n ab auf das Matrix Vektor Produkt a mal x, das ist ja im R hoch m. Also

wir suchen jetzt einen Punkt x im R hoch n, sodass dieser Vektor x auf den Punkt b abgebildet wird.

So kann man das lineare Gleichungssystem auch interpretieren. Im allgemeinen ist so ein

lineares Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar. Wir suchen also eine Lösungsmenge,

die Menge à la x aus dem R hoch n mit der Eigenschaft a mal x gleich b. Das ist jetzt

die gesuchte Lösungsmenge unseres linearen Gleichungssystems. Mit der linearen Abbildung

geschrieben ist das die Menge à la x aus dem R hoch n mit der Eigenschaft Phi x gleich b. Das

sind alle Punkte, die von Phi auf den Punkt b abgebildet werden. Man sagt auch, wir suchen

die Menge der Urbilder zu b, weil wir ja zurückschauen und gucken, was wird alles auf b abgebildet.

Und wir haben schon gesehen, wenn wir hier eine Lösung haben, dann können wir immer Elemente aus

dem Kern dieser Matrix oder der Abbildung hernehmen und dazu addieren und dann haben wir immer noch

eine Lösung. Also die Lösungsmenge hat immer die Struktur x Hut, eine spezielle Lösung und

dazu plus kommt der Kern, der wird dazu addiert. Also diese Menge kann man schreiben als x Hut plus

Kern von a. Diese Struktur falls x Hut eine Lösung ist, falls a mal x Hut also gleich b ist. Das kommt

jetzt auf das b an. Für manche rechten Seiten b findet man noch gar keine Lösung, dann ist diese

Lösungsmenge leer. Zur Klärung schreibe ich nochmal hin, was diese Zahlen m und n bedeuten.

M ist also einerseits natürlich die Zeilenanzahl unserer koeffizienten Matrix, das haben sie immer,

Zeile mal Spalte, also Zeilenanzahl von a, aber das ist andererseits auch die Anzahl der Gleichungen

in unserem linearen Gleichungssystem. Also sie kennen es ja schon lange, da stehen Gleichungen

übereinander, die können sie abzählen und das liefert ihnen dann das m. Also das ist gleich der Anzahl

der Gleichungen und dann haben wir n, das ist einerseits die Anzahl der Unbekannten und bezüglich a ist

es die Anzahl der Spalten der Matrix. Also n ist gleich der Spaltenanzahl von a und das ist auch

gleich der Anzahl der Unbekannten. Wir haben jetzt also dem linearen Gleichungssystem die

koeffizienten Matrix zugeordnet, deshalb können wir auch mit den Begriffen arbeiten, die wir bei

den Matrizen jetzt erarbeitet haben. Den Matrizen haben wir ja Ränge zugeordnet, also sei mal R der

Rang von a, das ist ja gleich der Dimension des Bildes von a nach Definition und das macht dann

eine Aussage auch über die Größe dieses Kerns, denn die Dimension des Kerns ist ja dann n minus r.

Also je größer der Rang ist, desto kleiner ist der Kern. Um jetzt die Lösbarkeit zu untersuchen,

betrachten wir die erweiterte Matrix, das haben wir ja auch am Ende der letzten Vorlesung schon

gesehen, da kleben wir an diese Matrix a mit den koeffizienten von den x noch als Zusatzspalte

die rechte Seite b an. Das nennt man erweiterte Matrix, die schreiben wir in der Form a,b und die

hat dann genauso viele Zeilen im Stück, aber eine Spalte mehr als vorher. Und mithilfe dieser

erweiterten Matrix können wir die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems charakterisieren.